Question

已知方程x²-kx-k+3=0有两个不等实根：α、β．
（1）设T=α²+β²+4αβ，求T的取值范围；
（2）若满足0＜α＜1＜β＜2，求k的取值范围．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式,抛物线与x轴的交点

专题：计算题

分析：（1）根据根与系数的关系得到α+β=k，αβ=-k+3，则T可变形为（k-1）²+5，再根据判别式的意义确定k的范围为k≤-6或k≥2，然后根据二次函数的性质求T的取值范围；
（2）根据题意，可理解为y=x²-kx-k+3与x轴两交点坐标为（α，0）、（β，0），利用0＜α＜1＜β＜2得到x=0，y＞0；x=1时，y＜0；x=2时，y＞0，
于是可得到三个k的不等式，然后求出三个不等式的公共部分即可．

解答：解：（1）根据题意得α+β=k，αβ=-k+3，
所以T=（α+β）²+2αβ=k²+2（-k+3）=（k-1）²+5，
∵△=（-k）²-4（-k+3）≥0，解得k≤-6或k≥2，
∴T≥6；
（2）y=x²-kx-k+3与x轴两交点坐标为（α，0）、（β，0），
∵0＜α＜1＜β＜2，
∴x=0，y＞0，即-k+3＞0，解得k＜3；
x=1时，y＜0，即1-k-k+3＜0，解得k＞2；
x=2时，y＞0，即4-2k-k+3＞0，解得k＜

7

3

，
∴k的取值范围为2＜k＜

7

3

．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了根的判别式和抛物线与x轴的交点．