Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13．点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BA向A运动．当点P到达终点，运动即结束．设运动时间为t秒．
（1）梯形ABCD的面积是______．
（2）若四边形PQBC恰好是直角梯形，求此时t的值．

Answer 1

解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是矩形，
∴EF=CD=7，DE=CF，
在Rt△ADE和Rt△BCF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），
∴AE=BF===3，
∴DE==4，
∴S_梯形ABCD=（AB+CD）•DE=×（7+13）×4=40；
故答案为：40；

（2）∵四边形PQBC恰好是直角梯形，
∴四边形PQFC是矩形，
∴PC=QF，
∴CP=5+7-2t，QF=t-3，
∴12-2t=t-3，
解得：t=5，
即四边形PQBC恰好是直角梯形，此时t=5．
分析：（1）首先过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，易得四边形ABCD是矩形，Rt△ADE≌Rt△BCF，则可求得AE与BF的长，然后由勾股定理求得DE的长，则可求得梯形ABCD的面积；
（2）由四边形PQBC恰好是直角梯形，四边形PQFC是矩形，则可得方程12-2t=t-3，继而求得答案．
点评：此题考查了等腰梯形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及矩形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．