Question

10．（1）如图，作出四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，使四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为2：1；
（2）若已知AB=2，BC=$\sqrt{3}$，∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥DA，求四边形A′B′C′D′的面积．

Answer 1

分析 （1）连结AC、BD，它们相交于点O，再分别取OA、OB、OC、OD的中点A′、B′、C′、D′，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为2：1；
（2）延长AB和DC，它们相交于点E，如图，先利用互余计算出∠E=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△BCE中可计算出CE=2BC=2$\sqrt{3}$，BE=$\sqrt{3}$BC=3，在Rt△ADE中可计算出AD=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{5}{2}$，DE=$\sqrt{3}$AD=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，则可利用S_{四边形ABCD}=S_△ADE-S_△BCE计算出四边形ABCD的面积，然后根据相似的性质可计算出四边形A′B′C′D′的面积．

解答 解：（1）如图，四边形A′B′C′D′为所求；
（2）延长AB和DC，它们相交于点E，如图，
∵AB⊥BC，CD⊥DA，
∴∠ADE=∠EBC=90°，
∵∠A=60°，
∴∠E=30°，
在Rt△BCE中，CE=2BC=2$\sqrt{3}$，BE=$\sqrt{3}$BC=3，
∴AE=BE+AB=5，
在Rt△ADE中，AD=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{5}{2}$，DE=$\sqrt{3}$AD=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ADE-S_△BCE=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×3=$\frac{13\sqrt{3}}{8}$，
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为2：1，
∴$\frac{{S}_{四边形ABCD}}{{S}_{四边形A′B′C′D′}}$=2²，
∴S_{四边形A′B′C′D′}=$\frac{1}{4}$×$\frac{13\sqrt{3}}{8}$=$\frac{13\sqrt{3}}{32}$．

点评 本题考查了作图-位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了相似的性质和含30度的直角三角形三边的关系．