Question

15．如图，⊙O中弦AB⊥CD于E，AE=2，EB=6，ED=3，则⊙O的半径为$\frac{\sqrt{65}}{2}$．

Answer 1

分析 作OG⊥CD于G，OF⊥AB于F，由相交弦定理得出DE•CE=AE•BE，求出CE，得出CD，由垂径定理得出得EG，证出四边形OGEF为矩形，得出OF=EG=$\frac{1}{2}$，根据勾股定理计算即可，

解答 解：作OG⊥CD于G，OF⊥AB于F，连接OB，
由相交弦定理得：DE•CE=AE•BE，即3×CE=2×6，
∴CE=4，
∴CD=CE+DE=7，
∵OF⊥AB，
∴DG=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{7}{2}$，
∴EG=DG-DE=$\frac{1}{2}$，
∵OF⊥AB，AB=AE+BE=8，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=4，
∵OG⊥CD，OF⊥AB，CD⊥AB，
∴∠OGE=∠GEF=∠OFE=90°，
∴四边形OGEF为矩形，
∴OF=EG=$\frac{1}{2}$，
在Rt△OBF中，OF=$\frac{1}{2}$，BF=4，
根据勾股定理得：OB=$\sqrt{O{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{65}}{2}$．

点评 此题考查了相交弦定理、垂径定理、勾股定理、矩形的判定与性质，根据图形作出相应的辅助线是解本题的关键．