Question

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=15，BC=25，AB=DC=10，动点P从点D出发，以每秒1个单位长的速度沿线段DA的方向向点A运动，动点Q从点C出发，以每秒2个单位长的速度沿射线CB的方向运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）当t=2时，求△APQ的面积；
（2）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t；
（3）当t为何值时，以A、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）过A作AE⊥BC于E，先求出等腰梯形的高AE，当t=2时可求出AP的长，进而可求出△APQ的面积．
（2）如果四边形ABQP为平行四边形则可得出AP=BQ，从而可列出关于t的方程，解出即可得出t的值．
（3）将AP、AQ、PQ分别用t表示出来，然后讨论，①AP=AQ，②AP=PQ，③AQ=PQ，分别解出t的值即可得出答案．

解答：解：（1）过A作AE⊥BC于E，
∵AB=DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
又∵AB=DC=10，AD=15，BC=25，
∴BE=

1

2

（BC-AD）=5，在RT△ABE中，AE=

AB2-BE2

=5

3

，
当t=2时，AP=AD-t=13，
∴△APQ的面积=

1

2

AP×AE=

65 3

2

．

（2）∵四边形ABQP为平行四边形，
∴AP=BQ，即AD-t=BC-2t，
∴15-t=25-2t，
解得：t=10秒．

（3）由题意可知：AP=15-t，
AQ=

(20-2t)2+(5 3 )2

；
PQ=

(5-t)2+(5 3 )2

；
①当AP=AQ时，t不存在；
②当AP=PQ时，即15-t=

(20-2t)2+(5 3 )2

，解得：t=

25

4

；
③当AQ=PQ时，即

(20-2t)2+(5 3 )2

=

(5-t)2+(5 3 )2

，解得：t₁=15（舍去），t₂=

25

3

；
综上可知，当t=

25

4

或t=

25

3

时，以A、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．

点评：本题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的性质、勾股定理及等腰三角形的性质，也结合了一元二次方程的应用，综合性较强，有一定难度，在解答此类动点型题目时，要注意利用时间t表示出有关线段的长度，然后根据线段的几何关系列出等式．