Question

补全图形并写出下列命题的已知、求证，完成证明过程．
命题：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，

 

．
求证：

 

．
证明：

Answer 1

考点：三角形中位线定理

专题：证明题

分析：根据命题找出题设和结论，然后根据题设写出已知：在△ABC中，点D、E分别是AB，AC的中点，根据结论写出求证：DE∥BC，DE=

1

2

BC．首先延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△AED≌△CEF，可得AD=CF，∠A=∠ECF，进而可证出AB∥CF，然后再证明四边形BDFC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DE∥BC，DF=BC，进而可证出DE=

1

2

DF=

1

2

BC．

解答：已知：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB，AC的中点．
 求证：DE∥BC，DE=

1

2

BC．
证明：延长DE到点F，使EF=DE，连接CF．
∵点E是AC中点，
∴AE=EC．
∵在△AED和△CEF中

AE=EC ∠AED=∠CEF DE=EF

，
∴△AED≌△CEF（SAS）．
∴AD=CF，∠A=∠ECF，
∴AB∥CF．
∵点D是AB中点，
∴AD=BD．
∴BD=CF．
∴四边形BDFC是平行四边形．
∴DE∥BC，DF=BC．
∴DE=

1

2

DF=

1

2

BC．

点评：此题主要考查了三角形的中位线，以及平行四边形的判定与性质，关键是证明四边形BDFC是平行四边形．