Question

18．如图，在平面直角坐标系中，A（-5，0），B（0，10），C（8，0），⊙A的半径为5．若F是⊙A上的一个动点，线段CF与y轴交于E点，则△CBE面积的最大值是（　　）

• A． $\frac{160}{3}$
• B． 40
• C． 20
• D． $\frac{40}{3}$

Answer 1

分析 当FC与⊙A相切且位于x轴下方时，△BCE的面积有最大值，由切线的性质可知△AFC为直角直角三角形，依据勾股定理可求得FC的长，然后证明△OEC∽△FAC，由相似三角形的性质可求得OE的长，从而得到BE的长，最后依据三角形的面积公式求解即可．

解答 解：如图所示：当CF与⊙A相切时，△BCE的面积有最大值．

∵CF与⊙A相切，
∴AF⊥FC．
∴△AFC为直角三角形．
∴FC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{F}^{2}}$=12．
∵∠AFC=∠EOC，∠OCE=∠FCA，
∴△OEC∽△FAC．
∴$\frac{OE}{AF}=\frac{OC}{CF}$，即$\frac{OE}{5}=\frac{8}{12}$，解得；OE=$\frac{10}{3}$．
∴BE=OB+OE=10+$\frac{10}{3}$=$\frac{40}{3}$．
∴△CBE面积的最大值=$\frac{1}{2}$BE•OC=$\frac{1}{2}$×$\frac{40}{3}$×8=$\frac{160}{3}$．
故选；A．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了切线的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、三角形的面积公式，找出△EBC取得最大值的条件是解题的关键．