题目内容

如图，AB、CD是半径为1的⊙P两条直径，且∠CPB=120°，⊙M与PC、PB及弧CQB都相切，O、Q分别为PB、弧CQB上的切点．
（1）试求⊙M的半径r；
（2）以AB为x轴，OM为y轴（分别以OB、OM为正方向）建立直角坐标系，
①设直线y=kx+m过点M、Q，求k，m；
②设函数y=x²+bx+c的图象经过点Q、O，求此函数解析式；
③当y=x²+bx+c＜0时，求x的取值范围；
④若直线y=kx+m与抛物线y=x²+bx+c的另一个交点为E，求线段EQ的长度．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ，PM+MQ= $\text{[math]}$ +r=1，
得r=2 $\text{[math]}$ -3．

（2）①点M（0，r），即 $\text{[math]}$ ；
点 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
由已知直线过点M、Q，得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
②由y=x²+bx+c过点O、Q，则c=0，
$\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
即得 $\text{[math]}$ ．
③令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，x₂=0，
即得当 $\text{[math]}$ 时，y＜0．
④由已知得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
消去y，得 $\text{[math]}$ ．
设点E的横坐标为x₂，点Q的横坐标为 $\text{[math]}$ ，
由根与系数的关系得x₂=-2，
则 $\text{[math]}$
进而得线段EQ的长为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用在Rt△POM中 $\text{[math]}$ 与PQ=PM+MQ建立起⊙P半径与⊙M半径r间的关系，从而求得r的值．
（2）①首先根据半径r与∠QPB=60°确定出M、Q两点的坐标，再代入y=kx+m，解方程求得k、m的值．
②首先根据y=x²+bx+c的图象经过点O，确定出c=0，再将Q点的坐标代入y=x²+bx+c，求得b的值，此函数解析式确定．
③将抛物线y=x²+bx+c首先转化为一元二次方程x²+bx+c=0的值x₁、x₂（其中x₁≤x₂）的值，那么y=x²+bx+c＜0关于x的取值范围即为x₁＜x＜x₂．
④通过上面①②知两解析式分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 首先求得E点坐标，Q点的坐标通过图不难确定，那么再求的两点间的距离即可．
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．