Question

平面内，四条线段AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．
（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小；
（2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD的平分线交于点N（如图2），则∠ANC=

 

．

Answer 1

分析：（1）根据题意，设AD与BC交于点F，BC与AM交于P，∠CFD=x°，根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义可以利用x表示出∠BCM的值，以及∠APB的度数，即∠CPM的度数，在△CPM中，利用三角形的内角和定理，即可求∠AMC．
（2）设AD、BC交于点F，设∠AFB=x°，设AN与BC交于点R，利用三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，利用x表示出∠RCN以及∠CRN的度数，然后在△CNR中，利用三角形内角和定理即可求解．

解答：解：（1）如图1，设AD与BC交于点F，BC与AM交于P，AD与CM交于Q，设∠CFD=x°，则∠AFB=∠CFD=x度，
△CFD中∠BCD=180°-∠ADC-∠CFD=180°-42°-x=138°-x，
∵CM平分∠BCD得到：
∠BCM=

1

2

∠BCD=69°-

1

2

x，
同理：∠BAM=∠MAD=78°-

1

2

x，
在△ABP中利用三角形内角和定理得到：
∠APB=180°-24°-（78°-

1

2

x）=78°+

1

2

x，
则∠CPM=∠APB=180°-24°-（78°-

1

2

x）=78°+

1

2

x，
在△CPM中三内角的和是180°，
即：（69°-

1

2

x）+（78°+

1

2

x）+∠AMC=180°，
则∠AMC=33°；

（2）设AD、BC交于点F，设∠AFB=x°，设AN与BC交于点R，（见图2）
∠EAD=∠B+∠AFB=24°+x，则∠RAD=∠EAN=12°+

1

2

x，
∵∠AFB=∠ARF+∠RAD，
∴∠ARB=∠CRN=∠EAN-∠B=

1

2

x-12°，
又∵由（1）可知∠BCN=69°-

1

2

x，
在△CNR中利用三角形内角和定理：
（

1

2

x-12°）+（69°-

1

2

x）+∠ANC=180°，
解得∠ANC=123°．

点评：在解题过程中如果需要一个量的值时，可以先把它设出，在解题过程中用所设的未知数表示，设的量可能也不需求出．