Question

类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．

（1）如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．

（2）小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形．她的猜想正确吗？请说明理由．

（3）如图2，小红作了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连结AA′，BC′．小红要使得平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段B′B的长）？

Answer 1

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）利用“等邻边四边形”的定义直接判断即可，

（2）利用平行四边形的判定和“等邻边四边形”的定义直接判断即可，

（3）利用“等邻边四边形”的定义和平移的性质（对应线段平行且相等），分四种情况（AA′=AB，AA′=A′C′，A′C′=BC′，BC′=AB）进行讨论计算即可．

【解答】（1）解：AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB

（2）解：小红的结论正确．

理由如下：∵四边形的对角线互相平分，

∴这个四边形是平行四边形，

∵四边形是“等邻边四边形”，

∴这个四边形有一组邻边相等，

∴这个“等邻边四边形”是菱形，

（3）解：由∠ABC=90°，AB=2，BC=1，得：AC=，

∵将Rt△ABC平移得到Rt△A′B′C′，

∴BA′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，

（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2，

（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=AC′=，

（III）当AC′=BC′=时，如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB

∵BB′平分∠ABC，

∴∠ABB′=∠ABC=45°

∴∠BB′D=∠ABB′=45°，

∴B′D=BD，

设B′D=BD=x，则C′D=x+1，BB′=x

∵根据在Rt△BC′D中，BC′²=C′D²+BD²即x²+（x+1）²=5

解得：x=1或x=﹣2（不合题意，舍去）

∴BB′=，

（IV）当BC′=AB=2时，如图4，与（III）方法同理可得：x=或x=，

x=或x=（舍去）

∴BB′=x=．

故应平移2或或或．

【点评】本题是四边形的综合题，利用“等邻边四边形”的定义这个信息解决问题，涉及到了图形的平移的性质，得出BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC，角的平分线的性质，由BB′平分∠ABC得到∠ABB′=∠ABC=45°，勾股定理，解题的关键是理解“等邻边四边形”的定义的前提下，结合已学知识会用它．