已知四边形ABCD中.EF分别是AB.AD边上的点.DE与CF交于点G．(1)如图1.若四边形ABCD是正方形.且DE⊥CF.求证:DE=CF,(2)如图2.若四边形ABCD是矩形.且DE⊥CF.求证:$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$,(3)如图3.若四边形ABCD是平行四边形.当∠B=∠EGF时.第(2)问的结论是否成立?若成立给予证明,若不成立.请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知四边形ABCD中，EF分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF，求证：DE=CF；
（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$；
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，当∠B=∠EGF时，第（2）问的结论是否成立？若成立给予证明；若不成立，请说明理由．

分析（1）由四边形ABCD为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，相等，且AD=DC，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ADE与三角形DCF全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）由四边形ABCD为矩形，得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形DCF相似，利用相似三角形对应边成比例即可得证；
（3）当∠B=∠EGF时，$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{DC}$成立，理由为：如图3，在AD的延长线上取点M，使CM=CF，利用平行线的性质，以及同角的补角相等得到三角形ADE与三角形DCM相似，利用相似三角形对应边成比例即可得证．

解答（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ADC=90°，AD=DC，
∴∠ADE+∠AED=90°，
∵DE⊥CF，
∴∠ADE+∠CFD=90°，
∴∠AED=∠CFD，
∴△ADE≌△DCF，
∴DE=CF；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，
∵DE⊥CF，
∴∠ADE+∠CFD=90°，∠DCF+∠CFD=90°，
∴∠ADE=∠DCF，
∴△ADE∽△DCF，
∴$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{DC}$；
（3）解：当∠B=∠EGF时，$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{DC}$成立，
证明：如图3，在AD的延长线上取点M，使CM=CF，

则∠CMF=∠CFM，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠CDM，
∵AD∥BC，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠B=∠EGF，
∴∠EGF+∠A=180°，
∴∠AED=∠CFM=∠CMF，
∴△ADE∽△DCM，
∴$\frac{DE}{CM}$=$\frac{AD}{DC}$，即$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{DC}$．