已知梯形ABCD中.AD∥BC.AB⊥BC.AD=1.AB=23.BC=3(1)如图1.P为AB边上的一动点.连接PD并延长到点E.使得DE=PD.以PE.PC为边作平行四边形PEFC①平行四边形PEFC能否为矩形?若能.求出此时AP的长,若不能.说明理由．②线段FP能否垂直于AB?若能.求出此时AP的长,若不能.说明理由．(2)如图2.若P为CD边上一动点.连� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2

，BC=3

（1）如图1，P为AB边上的一动点，连接PD并延长到点E，使得DE=PD，以PE，PC为边作平行四边形PEFC
①平行四边形PEFC能否为矩形？若能，求出此时AP的长；若不能，说明理由．
②线段FP能否垂直于AB？若能，求出此时AP的长；若不能，说明理由．
（2）如图2，若P为CD边上一动点，连接PA并延长到点E，使得AE=nPA，以PE、PB为边作平行四边形PEFB，线段PF能否垂直于CD？若能，求出此时PD的长（用含n的代数式表示）；若不能，说明理由．

分析：（1）①能，理由为：平行四边形PEFC能为矩形，当平行四边形PEFC为矩形时，∠EPC为直角，可得出∠APD与∠BPC互余，再由∠BPC与∠BCP互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形APD与三角形BCP相似，由相似得比例，求出AP的长即可；
②线段FP能垂直于AB，当FP垂直于AB时，利用垂直于同一条直线的两直线平行得到AD，FP与BC都平行，由平行得比例，并根据PD=DE，求出AP的长即可；
（2）线段PF能垂直于CD，作FN∥DC，CH⊥FN，延长CB交FN于点N，先证明△ADP∽△BNF，方法为由两直线平行同旁内角互补得到两对角互补，再利用同角的补角相等得到一对角相等，再由一对直角相等及两直线平行内错角相等，利用等式的性质得到一对角相等，可得出相似，由相似得比例，表示出BN，FN，及CN，过D作DM⊥BC，可得出四边形ABMD为矩形，利用矩形的对边相等得到DM=AB=2

，BM=AD=1，再由BC-BM求出CM的长，利用勾股定理求出CD的长，进而由直角三角形中一直角边等于斜边的一半求出∠MDC为30°，进而得到∠DCM为60°，确定出∠HCN为30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半表示出HN，由三个角为直角的四边形为矩形得到PFHC为矩形，利用矩形的对边相等得到FH=PC，由FN+NH表示出FH，由PC+DP=CD，得到FH+DP=CD，列出关系式，即可表示出此时的PD．

解答：解：（1）①能，理由为：若平行四边形PEFC为矩形，则∠EPC=90°，
∴∠APD+∠CPB=∠CPB+∠BCP=90°，
∴∠APD=∠BCP，
又∵∠A=∠B，
∴△APD∽△BCP，
∴

，即

-AP

，
∴AP=

，
∴当AP=

时，若平行四边形PEFC为矩形；
②能，理由为：若FP⊥AB，则AD∥FP∥BC，
∴

，
∵PD∥CF，
∴

，
∴

，
∴AP=

，
∴当AP=

时，FP⊥AB；
（2）能，理由为：作FN∥DC，CH⊥FN，延长CB交FN于点N，

∵FN∥DC，AD∥BC，
∴∠FNB+∠BCD=180°，∠D+∠BCD=180°，
∴∠FNB=∠D，
∵四边形PEFB为平行四边形，
∴EP∥FB，
∴∠PAB=∠ABF，
∵∠DAB=∠ABN=90°，
∴∠DAB-∠PAB=∠ABN-∠ABF，即∠DAP=∠NBF，
∴△ADP∽△BNF，
∴

，
∵BF=PE=（n+1）AP，
∴

(n+1)AP

，
∴BN=n+1，FN=（n+1）PD，
∴CN=BN+BC=n+4，
过D作DM⊥BC，可得出四边形ABMD为矩形，
∴DM=AB=2

，BM=AD=1，CM=BC-BM=3-1=2，
在Rt△CDM中，根据勾股定理得：CD=

CM2+DM2

=4，
∴CM=

CD，
∴∠MDC=30°，∠BCD=60°，
∵∠DCH=90°，
∴∠HCN=30°，
∴HN=

CN=

n+4

，
∵四边形FHCP是矩形，
∴FH=PC=HN+FN=

n+4

+（n+1）PD，
∴FH+PD=