Question

如图，?ABCD的面积等于1，F是BC上一点，AC与DF交于E，已知△CEF的面积为

1

40

．求

BF

FC

的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：

分析：过E的作GH⊥BC，交AD于G，交BC于H，则GH⊥AD，设GH=h，EH=h₁，根据△ADE∽△CEF可知AD：FC=（h-h₁）：h₁，然后根据已知条件求得

BC

FC

=

20h1

h

，结合这两个式子得出；h²-hh₁-20h₁ ²=0，从而求得h与h₁ 的关系，即可求得．

解答：
解：过E的作GH⊥BC，交AD于G，交BC于H，则GH⊥AD，设GH=h，EH=h₁，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CEF，
∴AD：FC=（h-h₁）：h₁，
∵S_△ABC=

1

2

BC•h=

1

2

，S_△EFC=

1

2

FC•h₁=

1

40

，
∴

BC•h

FC•h1

=

1 2

1 40

=20，
∴

BC

FC

=

20h1

h

，
∵BC=AD，
∴

20h1

h

=

h-h1

h1

，
整理得；h²-hh₁-20h₁ ²=0，
解得：h=5h₁，h=-4h₁ （舍去），
∴

AD

FC

=

h-h1

h1

=

5h1-h1

h1

=

4

1

，
 即

BC

FC

=

4

1

，
∴

BF

FC

=

3

1

．

点评：本题考查了相似三角形对应高的比等于相似比，树立数形结合的思想，通过面积公式转化成方程来解决问题．