Question

9．如图，已知正方形ABCD的边长为2，以AD为边向正方形外作等腰直角三角形ADE，则BE的长为$\sqrt{10}$、4或2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分∠AED=90°、∠DAE=90°以及∠ADE=90°三种情况考虑，通过构建直角三角形，利用正方形和等腰直角三角形的性质找出直角边的长度，利用勾股定理即可得出结论．

解答 解：AD为边向正方形外作等腰直角三角形ADE分三种情况，如图所示．
①当∠AED=90°时，过点E作EF⊥BA延长线于点F，连接BE，
∵正方形ABCD的边长为2，△AED为等腰直角三角形，
∴AF=EF=$\frac{1}{2}$AD=1．
在Rt△BFE中，BF=AB+AF=2+1=3，EF=1，
∴BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
②当∠DAE=90°时，
∵正方形ABCD的边长为2，△AED为等腰直角三角形，
∴AE=AD=2，
∴BE=AB+AE=2+2=4；
③当∠ADE=90°时，连接BE，
∵正方形ABCD的边长为2，△AED为等腰直角三角形，
∴DE=AD=2，
在Rt△BCE中，BC=2，CE=CD+DE=2+2=4，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{10}$、4或2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是分∠AED=90°、∠DAE=90°以及∠ADE=90°三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，分类讨论是关键．