Question

20．【感知】如图1，四边形ABCD，AEFG都是正方形，显然可得BE=DG．
【探究】当正方形AEFG绕点A转到图2的位置时，连接BE，DG，求证：BE=DG；
【应用】当正方形AEFG绕点A旋转到图3的位置时，点F在边AB上，连接BE，DG．若DG=13，AE=5$\sqrt{2}$，求AB的长．

Answer 1

分析 【探究】只要证明△EAB≌△GAD，即可解决问题．
【应用】连接EG交AB于O．分别在Rt△AEO，Rt△EOB中求出EO、AO、BO即可解决问题．

解答 解：【探究】：∵四边形ABCD、AEFG都是正方形，
∴AG=AE，AD=AB，∠EAG=∠DAB，
∴∠EAB=∠DAG，
在△EAB和△GAD，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAB=∠GAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△GAD，
∴BE=DG．

【应用】：连接EG交AB于O．

∵四边形AEFG是正方形，
∴FA⊥EG，AO=OE，
∵AE=5$\sqrt{2}$，
∴2EO²=AE²=50，
∴OE=OA=5，
在Rt△EOB中，∵∠EOB=90°，EO=5，EB=13，
∴OB=$\sqrt{E{B}^{2}-E{O}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12．
∴AB=AO+OB=12+5=17．

点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，灵活应用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．