题目内容

如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．

（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；

（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．

①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？

②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

        

（1） 若0＜t≤5，则AP＝4t，AQ＝2t. 则 ＝＝，

又 ∵ AO＝10，AB＝20，∴  ＝＝.

∴ ＝，  又 ∠CAB＝30°，∴ △APQ∽△ABO

∴ ∠AQP＝90°，即PQ⊥AC.

当5﹤t≤10时，同理可由△PCQ∽△BCO 可得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC

∴ 在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC.

（2）①  如图，在RtAPM中，易知AM＝，又AQ＝2t，

QM＝20－4t.

由AQ＋QM＝AM  得2t＋20－4t＝

解得t＝

∴ 当t＝时，点P、M、N在一直线上.

② 存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形.

设l交AC于H.

如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH＝30°.

∴ MH＝2NH，得 20－4t－＝2×  解得t＝2，

如图2，当点N在CD上时，若PM⊥MN，则∠HMP＝30°.

∴ MH＝2PH，同理可得t＝  .

故 当t＝2或  时，存在以PN为一直角边的直角三角形.

练习册系列答案
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精英家教网如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为
 
．
精英家教网如图，菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，∠ABD=α，则下列结论正确的是（　　）
A、sinα=
4
5
B、cosα=
3
5
C、tanα=
4
3
D、tanα=
3
4
如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°，以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系．动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/每秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点P到达终点时停止运动，运动时间为t，直线PQ交边AD于点E．
（1）求出经过A、D、C三点的抛物线解析式；
（2）是否存在时刻t使得PQ⊥DB，若存在请求出t值，若不存在，请说明理由；
（3）设AE长为y，试求y与t之间的函数关系式；
（4）若F、G为DC边上两点，且点DF=FG=1，试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值．
如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠B=60°，P、Q同时从A点出发，点P以1cm/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2cm/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动．当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为x秒，△APQ与△ABC重叠部分的面积为ycm2（规定：点和线段是面积为0的三角形）．
（1）当x=
8
8
秒时，P和Q相遇；
（2）当x=
（12-4
3
）
（12-4
3
）
秒时，△APQ是等腰直角三角形；
（3）当x=
32
3
32
3
秒时，△APQ是等边三角形；
（4）求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．
已知：如图，菱形ABCD的周长为8cm，∠ABC：∠BAD=2：1，对角线AC、BD相交于点O，求BD及AC的长．

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