Question

已知：矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE的中点，连结AF、CF．
（1）求证：CF⊥AF；
（2）若AB=10cm，BC=16cm，求△ADF的面积．

Answer 1

（1）证明：如图，连接BF，在矩形ABCD中，AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，
∵F为DE的中点，
∴CF=DF，
∴∠CDF=∠DCF，
∴∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF，
即∠ADF=∠BCF，
在△ADF和△BCF中，
，
∴△ADF≌△BCF（SAS），
∴∠AFD=∠BFC，
∵BE=BD，F为DE的中点，
∴BF⊥DE，
∴∠AFC=∠AFB+∠BFC=∠AFC+∠AFD=90°，
∴CF⊥AF；

（2）解：∵△ADF≌△BCF，
∴点F到AD、BC的距离相等，
∵AB=10cm，
∴点F到AB的距离为×10=5cm，
∴△ADF的面积=×16×5=40cm²．
分析：（1）连接BF，根据矩形的性质可得AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CF=DF，根据等边对等角可得∠CDF=∠DCF，然后求出∠ADF=∠BCF，利用“边角边”证明△ADF和△BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AFD=∠BFC，再根据等腰三角形三线合一可得BF⊥DE，然后求出∠AFC=90°，即可得证；
（2）根据全等三角形对应边上的高相等可得点F到AD、BC的距离相等，都是AB的一半，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等边对等角的性质，熟记各性质并求出∠ADF=∠BCF是解题的关键，也是本题的难点．