Question

已知：a、b为实数，且a²+ab+b²=5，a²-ab+b²=k，求k的最大值和最小值，并求出当k取到最大值和最小值时，对应的a、b的值分别是多少？

Answer 1

考点：配方法的应用

专题：

分析：由两个等式可求出a+b、ab的表达式，然后结合一元二次方程根与系数的关系得到a，b是关于方程x²±

15-k 2

+

5-k

2

=0的两个实根，由二次根式有意义的条件得到k的最大值；由一元二次方程的根的判别式得到k的最小值．

解答：解：∵a²+ab+b²=5，①
a²-ab+b²=k，②
∴由①-②得 ab=

5-k

2

，③
把③代入①，解得a+b=±

15-k 2

（k≤15），④
∴a，b是关于方程x²±

15-k 2

+

5-k

2

=0的两个实根，
由△=

15-k

2

-4×

5-k

2

≥0，
解得 k≥

5

3

．
故k的取值范围为：

5

3

≤k≤15．则k的最大值是15、最小值是

5

3

．
①当k=15时，

ab=-10 a+b=0

，
解得

a=- 10 b= 10

或

a= 10 b=- 10

．
②当k=

5

3

时，

ab= 5 3 a=b

，解得

a= 15 3 b= 15 3

．

点评：本题考查了配方法的应用，解题时，利用了完全平方公式和完全平方公式的变形求得ab、a+b的值是解题的关键．