Question

【题目】如图，的顶点A（0,3），B（b，0），C（c，0）在x轴上，若。

（1）请判断的形状并予以证明；

（2）如图，过AB上一点D作射线交y轴负半轴与点E，连CD交y轴与F点。若BD=FD，求度数。

（3）在（2）的条件下，，H是AB延长线上一动点，作，HG交射线DE于点G点，则的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出该值。

Answer 1

【答案】（1）△ABC为等腰直角三角形，理由见解析；（2）15°；（2）2.

【解析】

（1）结论：△ABC是等腰直角三角形．通过计算出B、C的坐标，结合A的坐标可证明△AOB和△AOC都是等腰直角三角形，继而可证△ABC是等腰直角三角形；

（2）连接BF，分别根据DB=DF， FB=FC可证明∠DBF=∠DFB，∠FBC=∠BCD.根据∠DFB=∠FBC+∠BCD，可设∠FBC=∠BCD=x，利用方程思想求得度数.

（3）结论：的值是定值，定值为2．连接CG．在DG上截取DK，使得DK=DH．只要证明DG=DH+CD，CD=2AD即可解决问题.

（1）结论：△ABC是等腰直角三角形.

理由：

∵，

∴b=-3，c=3

∴B（-3，0），C（3，0）

∵A（0，3）

∴OB=OC=OA，

∵AO⊥BC

∴AB=AC，△AOB和△AOC都是等腰直角三角形

∴∠BAO=∠OBA=∠OAC=∠OCA=45°

∴∠BAC=90°

∴△ABC是等腰直角三角形.

（2）证明：如图，连接BF，BE.

∵DB=DF，

∴∠DBF=∠DFB，

∴OA垂直平分线段BC，

∴FB=FC，

∴∠FBC=∠BCD，设∠FBC=∠BCD=x，

∴∠DFB=∠FBC+∠BCD=2x，

∴∠DBF=2x，

∵∠DBF+∠FBC=∠ABO

∴3x=45°，

∴x=15°，

∴∠BCD=15°

（3）结论：的值是定值，定值为2.

理由：如图2中，连接CG.在DG上截取DK，使得DK=DH.

∵

∴∠AFD=∠OFC=90°-∠BCD=90°-15°=75°

∴∠CDG=∠AFD-∠DEF=75°-15°=60°.

在△BCD中，∠ABC+∠BCD+∠BDC=180°

∴∠BDC=180°-∠ABC-∠BCD=180°-45°-15°=120°

∴∠CDG=∠GDH=60°

∵∠CHG=60°，

∴∠CDG=∠CHG，

∴C，D，H，G四点共圆，

∴∠HCG=∠GDH=60°，

∴△HCG是等边三角形，

∵DH=DK,∠HDK=60°，

∴△HDK是等边三角形，

∵∠DHK=∠CHG=60°，

∴∠DHC=∠KHG，

∵DH=DK，HC=HG，

∴△DHC≌△KHG(SAS)，

∴CD=KG，

∴DG=DK+KG，

∵DK=DH，KG=CD，

∴DG=DH+CD，

∴DGDH=CD，

在Rt△ADC中,∵∠ACD=∠ACB-∠BCD=30°，

∴CD=2AD，

∴DGDH=2AD，

∴.