Question

如图，半径为2的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．

(1)求证：PA?PB=PC?PD；

(2)设BC的中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD：

(3)若AB=8，CD=6，求OP的长．

Answer 1

 (1)∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A＝∠C．

∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴，∴PA?PB＝PC?PD；

(2)∵F为BC的中点，△BPC为Rt△，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF．

又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°，

∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD．

(3)作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，同垂径定理：

∴OM²＝(2)²－4²＝4，ON²＝(2)²－3²＝11

又易证四边形MONP是矩形，

∴OP＝