Question

18．如图，在等边△CDE中，A、B分别是ED、DE延长线上的点，且DE²=AD•EB，求∠ACB的度数．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质得CD=DE=BE，∠CDE=∠CED=∠DCE=60°，则利用等角的补角相等得∠ADC=∠BEC=120°，再利用等线段代换，由DE²=AD•EB得到CD•CE=AD•BE，根据比例性质得$\frac{CD}{BE}$=$\frac{AD}{CE}$，于是可判断△ADC∽△CEB，得到∠ACD=∠B，由于∠DEC=∠B+∠BCE=60°，所以∠ACD+∠BCE=60°，于是得到∠ACB=∠ACD+∠DCE+∠BCE=120°．

解答 解：∵△CDE为等边三角形，
∴CD=DE=BE，∠CDE=∠CED=∠DCE=60°，
∴∠ADC=∠BEC=120°，
∵DE²=AD•EB，
∴CD•CE=AD•BE，
∴$\frac{CD}{BE}$=$\frac{AD}{CE}$，
∵∠ADC=∠BEC，
∴△ADC∽△CEB，
∴∠ACD=∠B，
∴∠DEC=∠B+∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠BCE=60°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCE+∠BCE=60°+60°=120°．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是利用平行线构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质进行计算和判断线段之间的关系．也考查了等边三角形的性质．