Question

【题目】阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝2，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE＝，求CD的长；

小胖经过思考后，在CD上取点F使得∠DEF＝∠ADB（如图2），进而得到∠EFD＝45°，试图构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现△CEF∽△CDE．

（1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程．

（2）参考小胖的解题思路解决下面的问题：

如图3，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE，∠EAD+∠EBD＝90°，求BE：ED．

Answer 1

【答案】CD=5；（1）见解析；（2）

【解析】

（1）在CD上取点F，使∠DEF＝∠ADB，证明△ADB∽△DEF，求出DF＝4，证明△CEF∽△CDE，由比例线段可求出CF＝1，则CD可求出；

（2）如图3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，通过证明△DBE∽△ATD，可得 ，可得 ，通过证明△ARE≌△ATD，△ABR≌△ACT，可得BR＝TC＝DT，即可求解．

解：（1）在CD上取点F，使∠DEF＝∠ADB，

∵AD＝AE，∠DAE＝90°，

∴DE＝AD＝AE，

∵∠ABC＝45°，∠ADE＝45°，

且∠ADC＝∠ADE+∠EDC，

∴∠BAD＝∠EDC，

∵∠BDA＝∠DEF，

∴△ADB∽△DEF，

∴＝，

∵AB＝2，

∴DF＝4，

又∵∠CDE+∠C＝45°，

∴∠CEF＝∠CDE，

∴△CEF∽△CDE，

∴，

又∵DF＝4，CE＝，

∴，

∴CF＝1或CF＝5（舍去），

∴CD＝CF+4＝5；

（2）如图3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，

∵∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，

∴AB＝AC，AD＝CD，

∵AD＝AE，

∴∠AED＝∠ADE，

∵∠EAD+∠EBD＝90°，

∴∠EAD+2∠EBD＝180°，且∠EAD+2∠AED＝180°，

∴∠EBD＝∠AED＝∠ADE，

∵∠BDA＝∠DAT+∠ATD＝∠BDE+∠ADE，

∴∠ADE＝∠ATD＝∠EBD，且∠BDE＝∠DAT，

∴△DBE∽△ATD，

∴，∠ADT＝∠BED，

∴，且AD＝DC，

∴，

∵∠RAT＝∠DAE，∠ADE＝∠ATD，

∴∠RAE＝∠DAT，∠AED＝∠ART＝∠ADE＝∠ATD，

∴AR＝AT，且∠RAE＝∠DAT，∠ARE＝∠ATD，

∴△ARE≌△ATD（ASA）

∴∠ADT＝∠AER，DT＝ER，

∴∠BED＝∠AER，

∴∠AED＝∠BER＝∠EBD，

∴RE＝RB＝DT，

∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∠ARB＝∠ATC，

∴△ABR≌△ACT（AAS）

∴BR＝TC，

∴DT＝TC，

∴CD＝2DT，

∴＝