Question

20．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，抛物线y=a（x-2）²-10a与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）如图1，求AB的长；
（2）如图1，直线y=kx与抛物线y=a（x-2）²-10a交于点E，点E的横坐标为6，过点E作EG∥AB交抛物线于另一点G，作GD∥y轴交x轴于点F，交直线EO于点D，求证：GF=3DF；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接EC，当∠ECO=45°时，点P为第四象限抛物线上一点，过点P作直线PQ⊥x轴于点R，直线PQ交直线DE于点Q，连接PD、DR、ER、EF，当S_△PRD-S_△PRO=S_△EFD时，求点P坐标．

Answer 1

分析 （1）令y=0求出A、B两点坐标，即可求出AB的值．
（2）想办法求出E、G、D坐标，即可求出GF、DF，由此即可解决问题．
（3）如图3中，设EG交y轴于M，由∠ECO=45°，EG⊥CM，推出∠MCE=∠MEC=45°，EM=MC=6，12a=6，推出a=$\frac{1}{2}$，可得F（-2，0），D（-2，-1），E（6，3），抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-2）²-5，即y=$\frac{1}{2}$x²-2x-3，设P（m，$\frac{1}{2}$m²-2m-3），根据S_△PRD-S_△PRO=S_△EFD，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）对于抛物线y=a（x-2）²-10a，令y=0得到a（x-2）²-10a=0，
解得x=2±$\sqrt{10}$，
∴B（2+$\sqrt{10}$，0），A（2-$\sqrt{10}$，0），
∴AB=2+$\sqrt{10}$-2+$\sqrt{10}$=2$\sqrt{10}$．

（2）如图1中，

∵直线y=kx与抛物线y=a（x-2）²-10a交于点E，点E的横坐标为6，
∴E（6，6a），
把E（6，6a）代入y=kx得到k=a，
∴直线的解析式为y=ax，
∵点E、G关于直线x=2对称，
∴G（-2，6a），
∵GD∥y轴，
∴D（-2，-2a），
∴GF=6a，DF=2a，
∴GF=3DF．

（3）如图3中，设EG交y轴于M，

由题意，C（0，-6a），M（0，6a），
∵∠ECO=45°，EG⊥CM，
∴∠MCE=∠MEC=45°，
∴EM=MC=6，
∴12a=6，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴F（-2，0），D（-2，-1），E（6，3），抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-2）²-5，即y=$\frac{1}{2}$x²-2x-3，
设P（m，$\frac{1}{2}$m²-2m-3），
∵S_△PRD-S_△PRO=S_△EFD，
∴$\frac{1}{2}$•（m+2）•（-$\frac{1}{2}$m²+2m+3）-$\frac{1}{2}$•m•（-$\frac{1}{2}$m²+2m+3）=$\frac{1}{2}$•1•8，
整理得m²-4m-2=0，解得m=2+$\sqrt{6}$或2-$\sqrt{6}$（舍弃），
∴点P坐标为（2+$\sqrt{6}$，-2）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰直角三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．