Question

【题目】如图，在△中，∠，点是边上一点，以为直径的⊙与边相切于点，与边交于点，过点作⊥于点，连接．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】分析：（1）连接OE．由切线的性质得到OE⊥AC，从而有OE∥BC，由平行线的性质得到∠OEB=∠CBE．再由等腰三角形的性质得到∠OEB=∠OBE，即有∠OBE=∠CBE，由角平分线的性质即可得出结论；

（2）解Rt△ABC得到AB的长．再由OE∥BC，得到△AEO∽△ACB，由相似三角形对应边成比例，得到OB的长，进而可得出结论．

详解：（1）连接OE．

∵⊙O与边AC相切，∴OE⊥AC．

∵∠C=90°，∴OE∥BC，∴∠OEB=∠CBE．

∵OB=OE，∴∠OEB=∠OBE，∴∠OBE=∠CBE．

∵EH⊥AB，∴EH=EC．

（2）在Rt△中，，∴．

∵∥，∴△AEO∽△ACB，

∴，即．

解得： ，

∴．