Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点M、N是BC、CD边上的点，连接AM、BN，若BM=CN

（1）求证：AM⊥BN

（2）将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段ME，连接NE，试说明：四边形BMEN是平行四边形；

（3）将△ABM绕A逆时针旋转90°得到△ADF，连接EF，当时，请求出 的值

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）只需证明△ABM≌△BCN即可得到结论；

（2）由（1）可知AM＝BN且AM⊥BN，而ME是由AM绕点M顺时针旋转90度得到，于是可得ME与BN平行且相等，结论显然；

（3）易证AMEF为正方形，从而问题转化为求两个正方形的边长之比，由于已经知道BM与BC之比，设BM＝a，则由勾股定理易求AM．

解：（1）∵ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，

又∵BM＝CN，

∴△ABM≌△BCN（SAS），

∴∠BAM＝∠CBN，

∵∠BAM＋∠BMA＝90°，

∴∠CBN＋∠BMA＝90°，

∴AM⊥BN；

（2）∵将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段ME，

∴ME＝AM，ME⊥AM，

∵△ABM≌△BCN，

∴AM＝BN，

∵AM⊥BN，

∴BN＝ME，且BN∥ME，

∴四边形BMEN是平行四边形；

（3）∵将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段ME，将△ABM绕A逆时针旋转90°得到△ADF，

∴∠MAF＝∠AME＝90°，AF＝ME＝AM

∴AF∥ME，

∴AMEF是正方形，

∵，可以设BM＝a，AB＝na，

在直角三角形ABM中，AM＝，

∴．