Question

16．如图，△ABC是圆的内接三角形，点E为∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，AE的延长线交圆于点D．
（1）求证：$\widehat{BD}=\widehat{CD}$；
（2）判断B、E、C三点是否在以D为圆心，DE长为半径的⊙D上？并说明理由；
（3）如图2，若∠BEC=110°，则∠BDC=140°（直接写出结果）．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质求得AE是∠BAC的平分线，得出∠1=∠2，根据圆周角定理即可证得$\widehat{BD}=\widehat{CD}$；
（2）利用等弧所对的圆周角相等，可得∠BAD=∠CBD，再根据等量代换得出∠DBE=∠DEB，从而证明DB=DE=DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
（3）根据圆周角定理求得∠BAC=55°，然后根据圆内接四边形的性质即可求得∠BDC的度数．

解答 解：（1）如图1，∵点E为∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴AE是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
∴$\widehat{BD}=\widehat{CD}$；
（2）如图1，B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
理由：∵∠1=∠2，
又∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠4=∠5，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
∵$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，
∴BD=CD
∴DB=DE=DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
（3）如图2，∵B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上，∠BEC=110°，
∵220°+∠BDC=360°，
∴∠BDC=140°．
故答案为140°．

点评 本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．