Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得△A′B′C．E为AC的中点，A′B′中点为P，AC=4cm，则EP的最大值为

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：连结CP，如图1，利用含30度的直角三角形三边的关系得AB=2AC=8，由E为AC的中点得CE=2，再根据旋转的性质得A′B′=AB=8，则根据直角三角形斜边上的中线性质易得CP=

1

2

A′B′=4，于是根据三角形三边的关系有PE＜CE+PC，所以只有当点P在CE的延长线上时，PE最大，此时PE=CE+PC=6，如图2．

解答：解：连结CP，如图1，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2×4=8，
∵E为AC的中点，
∴CE=2，
∵△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），
∴A′B′=AB=8，
∵点P为A′B′的中点，
∴CP=

1

2

A′B′=4，
∵PE＜CE+PC，
∴只有当点P在CE的延长线上时，PE=CE+PC，此时PE最大，如图2，
即PE的最大值为2+4=6．
故答案为6．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．