Question

12．如图，正△ABC的边长是2，点M是边AB上任意一点（可与A，B重合），作MD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，作EN⊥AB于N，给出以下结论：①MN的最大值是$\frac{3}{2}$；②当M是AB的中点时，AN=$\frac{5}{8}$；③当M，N重合时，AN=$\frac{2}{3}$；④当△MBD≌△EAN时，AN=$\frac{1}{2}$，其中正确的结论有②③．

Answer 1

分析 ①先解直角三角形，然后根据直角三角形的性质和线段的和差即可得到MN的最大值是3，故①错误；
②由M是AB的中点，得到BM=1，BD=$\frac{1}{2}$，解方程得到AN=$\frac{5}{8}$；故②正确；
③列方程即可得到AN=2-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，故③正确；
④根据全等三角形的性质得到BM=AE=2AN，列方程即可得到AN=$\frac{2}{3}$，故④错误．

解答 解：①∵等边△ABC的边长是2，MB的长为x，MD⊥BC于D，DE⊥AC于E，EN⊥AB于Q，
∴∠MDB=∠DEC=∠ENA=90°，∠NBD=∠CDE=∠AEN=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$x，CD=4-$\frac{x}{2}$，CE=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{x}{2}$）=2-$\frac{x}{4}$，AE=4-（2-$\frac{x}{4}$）=2+$\frac{x}{4}$，AN=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{x}{4}$）=1+$\frac{x}{8}$，
∴当M在N下方时，y=AB-MB-AN=4-x-（1+$\frac{x}{8}$）=-$\frac{x}{8}$+3，
当M在N上方时，y=AM-AN=（1+$\frac{x}{8}$）-（4-x）=$\frac{9}{8}$x-3，
当y=0时，x=$\frac{8}{3}$，当x=0时，y=3，当x=4时，y=$\frac{3}{2}$，
∴MN的最大值是3，故①错误；
②∵M是AB的中点，
∴BM=1，BD=$\frac{1}{2}$，
∴CD=$\frac{3}{2}$，
∴CE=$\frac{3}{4}$，
∴AE=$\frac{5}{4}$，
∴AN=$\frac{5}{8}$；故②正确；
③设BM=x，则AN=2-x，
∴BD=$\frac{1}{2}$x，∴CD=2-$\frac{x}{2}$，
∴CE=1-$\frac{x}{4}$，
∴AE=2-1+$\frac{x}{4}$=1+$\frac{x}{4}$，
∴AN=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$+$\frac{x}{8}$=2-x，
∴x=$\frac{4}{3}$，
∴AN=2-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，故③正确；
④∵△MBD≌△EAN，
∴BM=AE=2AN，
设AN=x，
∴BM=2x，
∴BD=AN=x，
∴CD=2-x，CE=2-2x，
∵CE=$\frac{1}{2}$CD=1-$\frac{x}{2}$，
∴1-$\frac{x}{2}$=2-2x，
∴x=$\frac{2}{3}$，
∴AN=$\frac{2}{3}$，故④错误，
故答案为：②③．

点评 本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，求函数的解析式，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．