Question

如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且AF平分∠DAE．
（1）求证：AE=DF+BE；
（2）若AE=5，AF=6，求正方形ABCD的周长．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）延长CB到G，使BG=DF，连接AG，易证△ADF≌△ABG，得∠5=∠G，∠1=∠3，进而证明∠FAB=∠EAG，进而证明AE=EB+BG=EB+DF；
（2）由（1）可知AE=EG=5，AF=AG=6，作EH⊥AG垂足为H，利用勾股定理和等腰三角形的三线合一求得EH，进一步利用三角形AEG的面积求得AB解决问题．

解答：（1）证明：延长CB到G，使BG=DF，连接AG（如图）

∵AD=AB，∠D=∠ABG=90°，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴∠5=∠G，∠1=∠3，DF=BG，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴∠2+∠4=∠3+∠4，
即∠FAB=∠EAG，
∵CD∥AB，
∴∠5=∠FAB=∠EAG，
∴∠EAG=∠G，
∴AE=EB+BG=EB+DF．

（2）解：如图，

作EH⊥AG垂足为H，
∵AE=EG=5，AF=AG=6，
∴EH=

52-32

=4
S△AEG=

1

2

×AG×EH=

1

2

×EG×AB
即6×4=5×AB，
∴AB=4.8，
∴正方形ABCD的周长=4.8×4=19.2．

点评：本题考查了正方形角的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积以及勾股定理等知识点．