Question

如图，点D在△ABC的边CB的延长线上，以AB为直径作⊙O交线段AC于点E，过点E作EF∥CD分别交⊙O、AB于点F、G，连接BE、BF，若∠CBE=∠DBF．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）已知AB=18，BE=6，求弦EF的长．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理

专题：

分析：（1）求出∠EFB=∠DBF，∠CBE=∠BAC，根据圆周角定理得出∠AEB=90°，求出∠ABE+∠BAC=90°，推出∠ABC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据垂径定理求出EG=FG，设OG=x，则BG=9-x，由勾股定理得出方程9²-x²=6²-（9-x）²，求出x=7，即可求出答案．

解答：证明：（1）∵EF∥CD，
∴∠EFB=∠DBF，
∵弧BE=弧BE，
∴∠EFB=∠BAC，
∴∠DBF=∠BAC，
又∵∠CBE=∠DBF，
∴∠CBE=∠BAC，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠ABC=90°，
∴CD⊥AB，
∴CD为⊙O的切线；

（2）解：
∵CD⊥AB，EF∥CD，
∴EF⊥AB，
又∵AB是直径，
∴EG=FG，
连接EO，设OG=x，则BG=9-x，
由勾股定理可知：OE²-OG²=BE²-BG²=EG²，
即9²-x²=6²-（9-x）²，
解得x=7，
∴EF=2EG=2

92-72

=8

2

．

点评：本题考查了圆周角定理，切线的判定，勾股定理，三角形内角和定理，垂径定理的应用，题目比较典型，综合性比较强．