Question

16．在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，点E在AB上，点F在AC上，ED平分∠BEF，连接DF．
（1）如图1，求证：∠EDF+$\frac{1}{2}$∠A=90°；
（2）如图2，当∠ABC=45°时，点P在DE上，连接AP、CP交DF于点Q且满足∠APC=90°，若AE：BE=1：3，请你探究线段FQ与FC之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）连接AD，过D作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N，DK⊥AC于K，根据等腰三角形的性质得到AD平分∠BAC，由角平分线的性质得到DM=DK，DM=DN，等量代换得到DM=DN=DK，于是得到DF平分∠EFC，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）连接AD，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，过E作EK⊥AD于K，根据三角形的内角和得到∠BAC=90°，根据角平分线的性质得到∠BAD=∠CAD，求得DM=DN，证得四边形AMDN是正方形，于是得到AM=$\frac{1}{2}$AB，求出AE=$\frac{1}{4}$AB，得到AE=EM，由（1）证得∠EDF+$\frac{1}{2}$∠A=90°，求出∠3=∠2，由∠APC=∠ADC=90°，得到A，P，D，C四点共圆，由要抓紧定理得到∠1=∠3，∠DPC=∠DAC=45°根据三角函数的定义得到sin∠1=sin∠3，即$\frac{QF}{CF}$=$\frac{EK}{KD}$，代入数据即可得到结论．

解答 证明：（1）连接AD，过D作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N，DK⊥AC于K，
∵AB=AC，
∴AD平分∠BAC，
∴DM=DK，
∵ED平分∠BEF，
∴DM=DN，
∴DM=DN=DK，
∴DF平分∠EFC，
∵∠AEF+∠AFE=180°-∠A，
∴∠DEF+∠DFE=$\frac{1}{2}$[360°-（∠AEF+∠AFE）]=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}∠$A，
∴∠EDF=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠EDF+$\frac{1}{2}$∠A=90°；

（2）连接AD，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，过E作EK⊥AD于K，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC=90°，
∵D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD，
∴DM=DN，
∴四边形AMDN是正方形，AM=$\frac{1}{2}$AB，
∵AE：BE=1：3，
∴AE=$\frac{1}{4}$AB，
∴AE=EM，由（1）证得∠EDF+$\frac{1}{2}$∠A=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠EDF=45°，
∵∠ADN=45°，
∴∠3=∠2，
∵∠APC=∠ADC=90°，
∴A，P，D，C四点共圆，
∴∠1=∠3，∠DPC=∠DAC=45°，
∴DF⊥PC，∴∠1=∠2=∠3，
∴sin∠1=sin∠3，
即$\frac{QF}{CF}$=$\frac{EK}{KD}$，
设EK=AK=a，则AE=$\sqrt{2}$a，AM=2$\sqrt{2}$a，AD=4a，
∴KD=3a，ED=$\sqrt{10}$a，
∴$\frac{QF}{CF}$=$\frac{EK}{KD}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．