Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，且抛物线经过B（1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点A．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式，并求出顶点坐标D．
（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜3）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
（3）若P为对称轴x=-1上的一个动点．
①是否存在这样的点P，使得∠APC=90°？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴交x轴于点M，动点P从点M出发，第1秒以每秒1个单位的速度向上运动，第2秒以每秒2个单位的速度向下运动，第3秒以每秒3个单位的速度向上运动，按此规律一直运动下去…设运动时间为t（秒），试求出：在点P的运动过程中，当△BCP的周长前3次取得最小值时，相应的t的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）应用待定系数法即可求得解析式；
（2）画出翻转后新的函数图象，由直线y=x+b，b＜3确定出直线移动的范围，求出b的取值范围．
（3）①设P（-1，n），则PM=n，CE=3+n，AM=2，PE=1，根据△APM∽△CPE对应边成比例则

PM

PE

=

AM

CE

即可求得；
②根据轴对称的性质，先确定出P点，然后求得P的坐标，根据题意即可确定t的值．

解答：解（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，且抛物线经过B（1，0）、C（0，-3）两点，
∴

- b 2a =-1 a+b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=2 c=-3

．
∴抛物线的解析式为：y=x²+2x-3．


（2）∵抛物线的解析式为：y=x²+2x-3，
令y=0，则x²+2x-3=0，解得：x=1，x=-3，
∴A（-3，0），
如图2，当直线y=x+b经过A（-3，0）时-3+b=0，可得b=3，又因为b＜3，
故可知y=x+b在y=x+3的下方，
当直线y=x+b经过点B（1，0）时，1+b=0，则b=-1，
由图可知符合题意的b的取值范围为-1＜b＜3时，直线y=x+b（b＜3）与此图象有两个公共点．


（3）①如图3，设P（-1，n），∵OA=3，OC=3，OM=1，
∴PM=n，CE=3+n，AM=2，PE=1，
∵△APM∽△CPE，
∴

PM

PE

=

AM

CE

，
∴

n

1

=

2

n+3

，
解得：n=

-3+ 17

2

，n=

-3- 17

2

，
∴P（-1，

-3+ 17

2

）或P（-1，

-3- 17

2

）；

②如图4，∵对称轴为x=-1，C（0，-3），
∴C的对称点C′（-2，-3），
设直线BC′的解析式为：y=kx+b，∵B（1，0）、C′（-2，-3），
∴

k+b=0 -2k+b=-3

，
解得

k=1 b=-1

．
∴直线BC′的解析式为：y=x-1，
把x=-1代入得：y=-2，
∴P（-1，-2），
第一次取得最小值是第4秒，
之后第6秒内会第二次经过P点，即5+

5

6

=

35

6

，
之后第7秒内会第三次经过P点，即6+

1

7

=

43

7

，
∴根据题意，当△BCP的周长前3次取得最小值时的t的值为：4、

35

6

、

43

7

．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，以及根据三角形相似求点的坐标和直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想．