题目内容

如图①，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm．动点P在线段BC上以1cm/s的速度从点B运动到点C．过点P作PE⊥BC与AB交于点E，以PE为对称轴将PE右侧的图形翻折得到△B′PE，设点P的运动时间为x（s）．
（1）求点B′落在边AC上时x的值．
（2）当x＞0时，设△B′PE和直角△ABC重叠部分图形面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系式．
（3）如图②，点P运动的同时另有一动点D在线段AC上以2cm/s的速度从点C运动到点A．Q为CD的中点，以DQ为斜边在线段AC右侧作等腰直角△DQM．
①求当（2）中△B′PE和直角△ABC重叠部分图形面积是△DQM的面积4倍时x的取值范围．
②当△DQM 的顶点落在△B′PE的边上时，直接写出所有符合条件的x值．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）根据翻折的性质得：BP=B'P=x，再根据点B′落在边AC上，可得BP=
1
2
BC=
1
2
×4=2，从而求得点B′落在边AC上时x的值．
（2）分0＜x≤2，2＜x≤4两种情况讨论得到y与x之间的函数关系式．
（3）①分0＜x≤2，2＜x≤4，由△B′PE和直角△ABC重叠部分图形面积是△DQM的面积4倍，得到关于x的方程，即可求解．
②分三种情况：△DQM 的顶点M落在△B′PE的边B′E上；△DQM 的顶点Q落在△B′PE的边B′E上；△DQM 的顶点D落在△B′PE的边PE上；进行讨论即可求解．
解答：解：（1）由翻折得：BP=B'P=x，
∵点B′落在边AC上，
∴BP=
1
2
BC=
1
2
×4=2．
∵BP=x，
∴x=2．
∴点B'落在边AC上时x的值为2．                           

（2）y=
x2(0＜x≤2)
-3x2+16x-16(2＜x≤4)
．               

（3）①当0＜x≤2时，△B′PE和直角△ABC重叠部分图形面积是x2，△DQM的面积是=
1
2
（2x÷2）×（2x÷2÷2）=
1
4
x2，即△B′PE和直角△ABC重叠部分图形面积是△DQM的面积4倍；
当2＜x≤4时，△B′PE和直角△ABC重叠部分图形面积是-3x2+16x-16，△DQM的面积是=
1
2
（2x÷2）×（2x÷2÷2）=
1
4
x2，-3x2+16x-16=4×
1
4
x2，即x2-4x+4=0，解得x=2（不符合题意舍去）．
故△B′PE和直角△ABC重叠部分图形面积是△DQM的面积4倍时x的取值范围是2＜x≤4．
②△DQM 的顶点M落在△B′PE的边B′E上，
3
2
x=[x-（4-
1
2
x-x）]×2，解得x=
16
7
；
△DQM 的顶点Q落在△B′PE的边B′E上，4+
1
2
x=2x，解得x=
8
3
；
△DQM 的顶点D落在△B′PE的边PE上，x=4．
故符合条件的x值为：x=
16
7
；x=
8
3
；x=4．
点评：考查了相似形综合题，涉及的知识点有：翻折的性质，三角形的面积，分类思想的运用，方程思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
练习册系列答案
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下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
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OB
OA
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（1）-3+（-7）×
-2
7
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一只小虫从数轴上表示+5的A点开始移动，第一次先向右移动1个单位，再向左移动2个单位；第二次先向右移动3个单位，再向左移动4个单位；第三次先向右移动5个单位，再向左移动6个单位…第一次移动后小虫在数轴上表示的数
 
；第五次移动后小虫在数轴上表示的数
 
；第n次移动后小虫在数轴上表示的数
 
．

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