Question

11．如图，已知直线y=-$\frac{3}{4}$x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=-$\frac{3}{4}$x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是-1，4，4+2$\sqrt{5}$，4-2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设点P的坐标为（a，-$\frac{1}{2}$a²+2a+5），分别表示出B、Q的坐标，然后根据PQ=BQ，列方程求出a的值．

解答 解：设点P的坐标为（a，-$\frac{1}{2}$a²+2a+5），
则点Q为（a，-$\frac{3}{4}$a+3），点B为（0，3），
①当点P在点Q上方时，BQ=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{3}{4}a）^{2}}$=|$\frac{5}{4}$a|，
PQ=-$\frac{1}{2}$a²+2a+5-（-$\frac{3}{4}$a+3）=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{11}{4}$a+2，
∵PQ=BQ，
当a＞0时，
∴$\frac{5}{4}$a=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{11}{4}$a+2，
整理得：a²-3a-4=0，
解得：a=-1（舍去）或a=4，
当a＜0时，则-$\frac{5}{4}$a=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{11}{4}$a+2，
解得：a=4+2$\sqrt{5}$（舍去）或a=4-2$\sqrt{5}$；

②当点P在点Q下方时，BQ=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{3}{4}a）^{2}}$=|$\frac{5}{4}$a|，
PQ=-$\frac{3}{4}$a+3-（-$\frac{1}{2}$a²+2a+5）=$\frac{1}{2}$a²-$\frac{11}{4}$a-2，
由题意得，PQ=BQ，
当a＞0时，
则$\frac{5}{4}$a=$\frac{1}{2}$a²-$\frac{11}{4}$a-2，
整理得：a²-8a-4=0，
解得：a=4+2$\sqrt{5}$或a=4-2$\sqrt{5}$（舍去）．
当a＜0时，则-$\frac{5}{4}$a=$\frac{1}{2}$a²-$\frac{11}{4}$a-2，
解得：a=-1或a=4（舍去），
综上所述，a的值为：-1，4，4+2$\sqrt{5}$，4-2$\sqrt{5}$．
故答案为：-1，4，4+2$\sqrt{5}$，4-2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了二次函数的综合知识，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，以及两点间的距离，解答本题的关键是设出点P的坐标，表示出PQ、BQ的长度，然后根据PQ=BQ，分情况讨论并求解，难度一般．