Question

19．已知一组数据x₁，x₂，…x₆的平均数为1，方差为$\frac{5}{3}$
（1）求：x₁²+x₂²+…+x₆²；
（2）若在这组数据中加入另一个数据x₇，重新计算，平均数无变化，求这7个数据的方差（结果用分数表示）

Answer 1

分析 （1）先由数据x₁，x₂，…x₆的平均数为1，得出x₁+x₂+…+x₆=1×6=6，再根据方差为$\frac{5}{3}$，得到S²=$\frac{1}{6}$[（x₁-1）²+（x₂-1）²+…+（x₆-1）²]=$\frac{5}{3}$，利用完全平方公式求出$\frac{1}{6}$（x₁²+x₂²+…+x₆²-2×6+6）=$\frac{5}{3}$，进而求解即可；
（2）先由数据x₁，x₂，…x₇的平均数为1，得出x₁+x₂+…+x₇=1×7=7，而x₁+x₂+…+x₆=6，所以x₇=1；再根据$\frac{1}{6}$[（x₁-1）²+（x₂-1）²+…+（x₆-1）²]=$\frac{5}{3}$，得出（x₁-1）²+（x₂-1）²+…+（x₆-1）²=10，然后根据方差的计算公式即可求出这7个数据的方差．

解答 解：（1）∵数据x₁，x₂，…x₆的平均数为1，
∴x₁+x₂+…+x₆=1×6=6，
又∵方差为$\frac{5}{3}$，
∴S²=$\frac{1}{6}$[（x₁-1）²+（x₂-1）²+…+（x₆-1）²]
=$\frac{1}{6}$[x₁²+x₂²+…+x₆²-2（x₁+x₂+…+x₆）+6]
=$\frac{1}{6}$（x₁²+x₂²+…+x₆²-2×6+6）
=$\frac{1}{6}$（x₁²+x₂²+…+x₆²）-1=$\frac{5}{3}$，
∴x₁²+x₂²+…+x₆²=16；

（2）∵数据x₁，x₂，…x₇的平均数为1，
∴x₁+x₂+…+x₇=1×7=7，
∵x₁+x₂+…+x₆=6，
∴x₇=1，
∵$\frac{1}{6}$[（x₁-1）²+（x₂-1）²+…+（x₆-1）²]=$\frac{5}{3}$，
∴（x₁-1）²+（x₂-1）²+…+（x₆-1）²=10，
∴S²=$\frac{1}{7}$[（x₁-1）²+（x₂-1）²+…+（x₇-1）²]
=$\frac{1}{7}$[10+（1-1）²]
=$\frac{10}{7}$．

点评 本题考查了平均数与方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．计算公式是：s²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]．