Question

（2013•荆门）若抛物线y=x²+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n=

9

．

Answer 1

分析：首先，由“抛物线y=x²+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=-

b

2

时，y=0．且b²-4c=0，即b²=4c；
其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，则A（-

b

2

-3，n），B（-

b

2

+3，n）；
最后，根据二次函数图象上点的坐标特征知n=（-

b

2

-3）²+b（-

b

2

-3）+c=-

1

4

b²+c+9，所以把b²=4c代入即可求得n的值．

解答：解：∵抛物线y=x²+bx+c与x轴只有一个交点，
∴当x=-

b

2

时，y=0．且b²-4c=0，即b²=4c．
又∵点A（m，n），B（m+6，n），
∴点A、B关于直线x=-

b

2

对称，
∴A（-

b

2

-3，n），B（-

b

2

+3，n）
将A点坐标代入抛物线解析式，得：n=（-

b

2

-3）²+b（-

b

2

-3）+c=-

1

4

b²+c+9
∵b²=4c，
∴n=-

1

4

×4c+c+9=9．
故答案是：9．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系．
△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．