Question

等腰△ABC中（如图1），AB=AC，腰上的高为h，P为底边BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
（1）求证：PE+PF=h；
（2）（如图2）当点P在线段BC的延长线上时，PE、PF、h之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．

Answer 1

考点：等腰三角形的性质,三角形的面积

专题：

分析：（1）在CG上截取CH=DE，连接DH，易证四边形GEDH是矩形，从而可知∠GHD=90°，DH∥AB，那么就有∠DHC=∠CFD=90°，∠HDC=∠B，又AB=AC，利用等边对等角，可得∠B=∠FCD，于是∠HDC=∠FCD，再结合CD=DC，利用AAS可证△DHC≌△CFD，那么CH=DF，从而易证DE+DF=CG．
（2）猜想：DE-DF=CG．过C作CM⊥ED，垂足为M，易证四边形CGEM是矩形，利用AAS可证△DCM≌△DCF，那么DM=DF，易证DE-DF=CG．

解答：（1）证明：如图1所示，在CG上截取GH=ED，并连接HD，
∵CG⊥AB，DE⊥AB，
∴DE∥CG，DH∥EG，∠HGE=90°，
∴四边形DHGE是矩形，
∴∠DHG=90°，
∴∠DHC=90°，
在△DHC和△CFD中，
∠DHC=∠CFD=90°，
∵DH∥AB，AB=AC，
∴∠HDC=∠B=∠FCD，DC=CD，
∴△DHC≌△CFD，
∴HC=FD，
∴DE+DF=GH+HC=CG，
即DE+DF=CG．

（2）猜想：DE-DF=CG．
证明：如图2所示，过C作CM⊥ED，垂足为M，
∵DF⊥AC，
∴∠CMD=∠CFD=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ACB=∠FCD，
∴∠B=∠FCD，
∵DE⊥AB，CM⊥DE，
∴CM∥AB，
∴∠B=∠MCD，
∴∠MCD=∠FCD，
在△CMD和△CFD中，

∠CMD=∠CFD ∠MCD=∠FCD CD=CD

，
∴△CMD≌△CFD（AAS），
∴DM=DF，
∵四边形GCME为长方形，
∴CG=EM，
∵EM+MD=DE，
∴CG+DF=DE，
即DE-DF=CG．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；辅助线的作出是正确解答本题的关键．