Question

（2013•门头沟区一模）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ADC=120°，AB=AD，E是BC的中点，DE=15，DC=24，求四边形ABCD的周长．

Answer 1

分析：过A作AF⊥BD与F，根据已知∠A=∠ADC=120°，AB=AD，可知∠ADC=30°，即可证明∠BDC=90°，然后根据直角三角形斜边中线是斜边的一般可求BC的长，继而求出BD的长，在Rt△AED中，根据特殊角的三角函数值可求得AD的长，即可求得ABCD的周长．

解答：解：如图，过A作AF⊥BD与F，
∵∠BAD=120°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∵∠ADC=120°，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=120°-30°=90°，
在Rt△BDC中，∠BDC=90°，E是BC的中点，DE=15，
∴BC=2DE=30，
则BD=

BC2-DC2

=

302-242

=18，
∵AD=AB，AF⊥BD，
∴DF=

1

2

BD=

1

2

×18=9，
在Rt△AFD中，
∵∠AFD=90°，∠ADB=30°，
∴AD=AB=

DF

cos30°

=

9

3 3

=6

3

，
则四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=6

3

+30+24+6

3

=54+12

3

．．

点评：本题考查了解直角三角形的知识以及勾股定理的应用，难度一般，解答本题的关键是在各直角三角形中利用解直角三角形的知识求出四边形的边长．