Question

【题目】（1）如图①，在中，，，，则的值是_______．

（2）如图②，在正方形中，，点是平面上一动点，且，连接，在上方作正方形，求线段的最大值．

问题解决：（3）如图③，半径为6，在中，，点在上，点在内，且．当点在圆上运动时，求线段的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）3

【解析】

（1）根据勾股定理算出AC，再根据正切的定义可得结果；

（2）根据题意得出当三点共线，且在的延长线上时，线段取得最大值，即此时CF最大；

（3）作的外接圆，连接，设交劣弧于点，则，可得当点与点重合时，线段取得最小值，延长交圆于点，连接，证明得出，从而可得，根据，在△ABF中，利用勾股定理列出方程，解得AC2，在△AOC中，求出OC即可.

解：（1）∵，，，

∴AC=,

∴tanA=；

（2），点为定点，

点在以为圆心，长为半径的圆上运动.

当三点共线，且在的延长线上时，线段取得最大值，

在正方形中，，

最大=5+2=7，

四边形是正方形，

，

线段的最大值为；

（3）如图①，延长交于点，连接.

在中，且，

的大小不变.

又点在上，点在内，且的半径为6，

的大小，弦的长均为定值.

作的外接圆，则点在劣弧上（不包括端点），

如图②，连接，设交劣弧于点，则，且当点与点重合时，线段取得最小值.

延长交圆于点，连接，

，

经过点，

，点在上，

，

，

又，

，

，

又，

，

，

，设，则，，

，

又，

在中，，解得，

，

在中，，

线段的最小值是3.