Question

如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为，OP=1，求BC的长．

Answer 1

【考点】切线的判定．

【专题】几何图形问题．

【分析】（1）由垂直定义得∠A+∠APO=90°，根据等腰三角形的性质由CP=CB得∠CBP=∠CPB，根据对顶角相等得∠CPB=∠APO，所以∠APO=∠CBP，而∠A=∠OBA，所以∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，然后根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线；

（2）设BC=x，则PC=x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得到（）²+x²=（x+1）²，然后解方程即可．

【解答】（1）证明：连接OB，如图，

∵OP⊥OA，

∴∠AOP=90°，

∴∠A+∠APO=90°，

∵CP=CB，

∴∠CBP=∠CPB，

而∠CPB=∠APO，

∴∠APO=∠CBP，

∵OA=OB，

∴∠A=∠OBA，

∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，

∴OB⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

 

（2）解：设BC=x，则PC=x，

在Rt△OBC中，OB=，OC=CP+OP=x+1，

∵OB²+BC²=OC²，

∴（）²+x²=（x+1）²，

解得x=2，

即BC的长为2．

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理．