Question

等腰梯形ABCD中，如图1，AB∥CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=CD，连接CE．
（1）求证：CE=CA；
（2）上述条件下，如图2，若AF⊥CE于点F，且AF平分∠DAE，

CD

AE

=

2

5

，求sin∠CAF的值．

Answer 1

分析：（1）根据等腰梯形的性质可得出AC=BD，而CD

∥

.

BE，因此四边形CEBD是平行四边形，CE=BD，因此可得出CE=CA；
（2）要求∠CAF的正弦值，就要知道，CF和AC的比例关系．由于BD∥CE，AF⊥CE，那么AF⊥BD，而AF平分∠DAB，因此AF垂直平分BD，如果设AF，BD交于O点，那么BO=

1

2

BD=

1

2

AC=

1

2

CE．根据CD：AE=2：5，即BE：AE=2：5，可得出AB：AE=3：5，有BO∥CE，得出BO：EF=AB：AE，也就求出了BF何CE的比例关系，便可得出CF和EC的比例关系，由于CE=AC，因此也就得出了CF和AC的比例关系即可得出∠CAF的正弦值．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形
∴AC=BD，CD∥BE，
∵CD=BE，
∴四边形DBEC是平行四边形
∴CE=BD，
∴CE=CA；

（2）解：∵CD=BE，且

CD

AE

=

2

5

，
∴

AB

AE

=

3

5

∵AF⊥EC，BD∥EC
∴AF⊥BD，设垂足为O
∵AF平分∠DAB
∴AF垂直平分BD，即BO=

1

2

BD=

1

2

AC=

1

2

CE
∵BO∥CE
∴

BO

EF

=

AB

AE

=

3

5

，即

1 2 CE

EF

=

3

5

∴EF=

5

6

CE
∴CF=

1

6

CE=

1

6

AC
∴sin∠CAF=

CF

AC

=

1

6

．

点评：本题主要考查了等腰梯形的性质，相似三角形的性质等知识点的应用，本题中通过AF垂直平分BD得出BO=

1

2

BD，进而求出EF和CE的关系是解题的关键．