Question

13．如图，以等腰△ABC的一腰AB为直径的圆交底边BC于点D，交另一腰AC于点F，连接DF，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：BC=2DF；
（2）若AB=13，sinB=$\frac{12}{13}$，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）连结AD，如图，根据圆周角定理得∠ADB=90°，则利用等腰三角形的性质得BD=CD，∠B=∠C，再证明DF=DC，从而得到BC=2DF；
（2）在Rt△ABD中利用正弦定义求出AD，再利用勾股定理计算出BD，得到CD的长，接着在Rt△CDE中利用正弦求出DE，则利用勾股的定理计算出CE，然后根据等腰三角形的性质得EF，然后计算AC-EF-CE即可．

解答 （1）证明：连结AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，∠B=∠C，
∵∠DFC=∠B，
∴∠DFC=∠C，
∴DF=DC，
∴BD=CD=CF，
∴BC=2DF；
（2）解：在Rt△ABD中，∵sinB=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{12}{13}$，
而AB=13，
∴AD=12，
∴BD=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5，
∴CD=5，
在Rt△CDE中，∵sinC=$\frac{DE}{CD}$=sinB=$\frac{12}{13}$，
∴DE=$\frac{60}{13}$，
∴CE=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{60}{13}）^{2}}$=$\frac{25}{13}$，
∵DF=DC，DE⊥CF，
∴EF=CE=$\frac{25}{13}$，
∴AF=AC-EF-CE=13-$\frac{25}{13}$×2=$\frac{119}{13}$．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质和解直角三角形．