Question

13．如图，在平面直角坐标系中，点A是直线y=-x上一动点，点P的坐标为（0，1）点Q的坐标为（$\frac{3}{2}$，-2），当|AP-AQ|最大时，点A的坐标为（4，-4）．

Answer 1

分析 先作点Q（$\frac{3}{2}$，-2）关于直线y=-x对称的点Q'（2，-1.5），再连接AP，AQ，AQ'，根据轴对称的性质可得AQ=AQ'，根据|AP-AQ|≤PQ'，可知当A，Q'，P在同一直线上时，|AP-AQ|=PQ'，此时|AP-AQ|有最大值，最后根据待定系数法求得直线解析式，并解方程组即可得到点A的坐标．

解答 解：如图所示，作点Q（$\frac{3}{2}$，-2）关于直线y=-x对称的点Q'（2，-1.5），
连接AP，AQ，AQ'，则AQ=AQ'，
由图可得，|AP-AQ|≤PQ'，
∴当A，Q'，P在同一直线上时，|AP-AQ|=PQ'，
此时|AP-AQ|有最大值，
设直线PQ'的解析式为y=kx+b，
把（0，1），（2，-1.5）代入可得，
$\left\{\begin{array}{l}{-1.5=2k+b}\\{1=b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{5}{4}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线PQ'的解析式为y=-$\frac{5}{4}$x+1，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{5}{4}x+1}\\{y=-x}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴A（4，-4），
故答案为：（4，-4）．

点评 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及最短路线问题，解决问题的关键是依据三角形的三边关系进行判断．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．