Question

18．如图，已知抛物线y=-x²+2x+3与x轴分别交于A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，请问在直线BC下方的抛物线上是否存在点G，使得△BGC的面积为6？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 求出直线BC的解析式，然后设点G的坐标为（x，y），过点G作GD⊥y轴交直线BC于点D，利用三角形的面积公式列出方程即可求出x与y的值．

解答 解：过点G作GD⊥y轴交直线BC于点D，
令x=0代入y=-x²+2x+3，
∴C（0，3），
∴OC=3，
令y=0代入y=-x²+2x+3，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∴将C（0，3）和B（3，0）代入y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{0=3k+b}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
设点G（x，y），
∴D（3-y，y），
∴GD=|3-y-x|，
∵S_△BGC=$\frac{1}{2}$OC•GD
∴6=$\frac{3}{2}$|3-y-x|，
∴±6=$\frac{3}{2}$（3-y-x），
当6=$\frac{3}{2}$（3-y-x）时，
∵y=-x²+2x+3，
两式联立可得：x²-3x-4=0，
解得：x=4（舍去）或x=1，
∴此时G（1，2），不满足题意，故舍去；
当-6=$\frac{3}{2}$（3-y-x）时，
∵y=-x²+2x+3，
两式联立可得：x²-3x+4=0，
此时△=-7＜0，
故该方程无解，
综上所述，不存在点G，使得△BGC的面积为6

点评 本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是求出直线BC的解析式，以及设点G的坐标为（x，y），并表示出点D的坐标，本题属于中等题型．