Question

【题目】在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若上存在一点不与重合，使点关于直线的对称点在上，则称为的反射点．下图为的反射点的示意图．

（1）已知点的坐标为，的半径为，

①在点，，中，的反射点是____________；

②点在直线上，若为的反射点，求点的横坐标的取值范围；

（2）的圆心在轴上，半径为，轴上存在点是的反射点，直接写出圆心的横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①，；②点的横坐标的取值范围是，或；（2）圆心的横坐标的取值范围是．

【解析】

（1）①连接MN,过原点O作MN的垂线，必与有交点，即可得出结论.

②直线与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为，，，，过点作轴于点，分别求出点E,F,G,H的坐标，为的反射点，则

上存在一点T，使点P关于直线OT的对称点在上，则,由，则，即可求出答案.

（2）根据反射点的定义求解即可.

解（1）①连接MN,过原点O作MN的垂线，必与有交点， 都是的反射点．

②设直线与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为，，，，过点作轴于点，如图．

可求得点的横坐标为．

同理可求得点，，的横坐标分别为，，．

点是的反射点，则上存在一点，使点关于直线的对称点在上，则.

∵，∴．

反之，若，上存在点，使得，故线段的垂直平分线经过原点，且与相交．因此点是的反射点．

∴点的横坐标的取值范围是，或．

（2）圆心的横坐标的取值范围是．