Question

【题目】如图①，直线y＝与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线y＝过B，C两点，且与x轴的另一个交点为点A，连接AC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点D（与点A不重合），使得S△DBC＝S△ABC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线CB于点M和点N，在矩形平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，点D（8，5），理由见解析；（3）点M的坐标为（2，﹣2）或（2+2，﹣2）或（2﹣2，﹣﹣2）

【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图①中，作AD∥BC交抛物线于D，则S△ABC=S△BCD．求出直线AD的解析式，构建方程组确定坐标即可．
（3）设M（m，m-3），则N（m+2，m-2），可得P（m，m2-m-3），Q[m+2，（m+2）2-（m+2）-3]，推出PM=m-3-（m2-m-3），NQ=m-2-[（m+2）2-（m+2）-3]，当PM=QN时，点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，由此构建方程即可解决问题．

（1）由题意C（0，﹣3），B（6，0），把C（0，﹣3），B（6，0）代入y＝+bx+c得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3．

（2）如图①中，作AD∥BC交抛物线于D，则S△ABC＝S△BCD．

∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，A（﹣2，0），∴直线AD的解析式为y＝x+1，由，解得或，∴D（8，5）．

∵直线AD交y轴于E（0，1），点E关于点C的对称点E′（0，﹣7），

∴过点E′平行BC的直线的解析式为y＝x﹣7，由，方程组无解，

∴在直线BC的下方不存在满足条件的点D．∴满足条件的点D（8，5）．

（3）设M（m，m﹣3），则N（m+2，m﹣2），

∴P（m，m2﹣m﹣3），Q[m+2，（m+2）2﹣（m+2）﹣3]，

∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣m﹣3），NQ＝m﹣2﹣[（m+2）2﹣（m+2）﹣3]，

当PM＝QN时，点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，

∴|m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）|＝|m﹣2﹣[（m+2）2﹣（m+2）﹣3]|解得：m＝2或2±2，

∴满足条件的点M的坐标为（2，﹣2）或（2+2，﹣2）或（2﹣2，﹣﹣2）．