Question

11．如图，已知抛物线y=ax²+bx+8（a≠0）与x轴交于A（-2，0），B两点，与y轴交于C点，tan∠ABC=2．
（1）求抛物线的表达式及其顶点D的坐标；
（2）过点A、B作x轴的垂线，交直线CD于点E、F，将抛物线沿其对称轴向上平移m个单位，使抛物线与线段EF（含线段端点）只有1个公共点．求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由OC=8、tan∠ABC=2得点B坐标，将点A、B坐标代入求解可得；
（2）先求出直线CD解析式和点E、F坐标，设平移后解析式为y=-（x-1）²+9+m，结合图象根据抛物线与线段EF（含线段端点）只有1个公共点，求得临界时m的值，从而得出答案，

解答 解：（1）由抛物线的表达式知，点C（0，8），即 OC=8；
Rt△OBC中，OB=OC•tan∠ABC=8×$\frac{1}{2}$=4，
则点B（4，0）． 
将A、B的坐标代入抛物线的表达式中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+8=0}\\{16a+4b+8=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的表达式为y=-x²+2x+8，
∵y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
∴抛物线的顶点坐标为D（1，9）．



（2）设直线CD的表达式为y=kx+8，
∵点D（1，9），
∴直线CD表达式为y=x+8．
∵过点A、B作x轴的垂线，交直线CD于点E、F，
可得：E（-2，6），F（4，12）．
设抛物线向上平移m个单位长度（m＞0），

则抛物线的表达式为：y=-（x-1）²+9+m；
当抛物线过E（-2，6）时，m=6，
当抛物线过F（4，12）时，m=12，
∵抛物线与线段EF（含线段端点）只有1个公共点，
∴m的取值范围是6＜m≤12．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式及抛物线与直线的交点问题，利用图象与线段只有一个交点得出临界是m的值是解题关键