Question

12．如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，则⊙O的半径是5；
变化①：⊙O中有一点C，过这点最长的弦为10，最短的弦为6，则点O与C的距离是4；
变化②：在上题的条件下，过C点的弦中长度为整数的弦有8条．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理和勾股定理求解；
（2）根据题意，得最长的弦即直径是10，最短的弦即过点C垂直于OC的弦AB，连接OA，根据勾股定理以及垂径定理即可求得；
（3）求出过P点的弦的长度的取值范围，取特殊解，根据对称性综合求解．

解答 解：（1）如图1，过点O作OE⊥AB，
在直角△AOE中，AE=4，OE=3，
根据勾股定理得到OA=5，
则⊙O的半径是5，
故答案为：5；

（2）如图2，连接OA，根据题意，OA=10÷2=5，AC=6÷2=3，
∴OC=$\sqrt{{OA}^{2}{-AC}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}{-3}^{2}}$=4，
故答案为：4；

（3）∵过C点最长的弦为10，最短的弦为6，
∴过点C的弦的弦长可以是7，8，9各两条，总共有8条长度为整数的弦．
故答案是：8．

点评 本题主要考查了垂径定理和勾股定理，注意理解最短和最长的弦是解答此题的关键．