Question

3．一个自然数（即非负整数）若能表示成两个自然数的平方差，则称这个自然数为“好数”．例如，16=5²-3²就是一个“好数”．
（1）2014是不是“好数”？说明理由．
（2）从小到大排列，第2014个“好数”是哪个自然数？

Answer 1

分析 （1）根据题意得出是好数，要么是奇数要么能被4整除，进而得出答案；
（2）首先得出从小到大的“好数”为：0，1，3，4，5，7，8，9，11，12，13，…，进而求出第2014个“好数”．

解答 解：（1）2014不是“好数”．如果2014是“好数”，不妨设2014=m²-n²（m，n为自然数），
则（m+n）（m-n）=2×1007，而m+n，m-n的奇、偶性相同，即（m+n）（m-n），要么是奇数要么能被4整除．
所以2014不是“好数”．

（2）设k为自然数，由（1）类似可得如4k+2的自然数都不是“好数”，
（k+1）²-（k-1）²=4k，（k+1）²-k²=2k+1，
故4k，2k+1的自然数都是“好数”，
所以从小到大的“好数”为：0，1，3，4，5，7，8，9，11，12，13，…
所以第n个“好数”为：n-1+[$\frac{n}{3}$]，
所以第2014个“好数”为2684．

点评 此题主要考查了因式分解的应用，根据题意正确判断好数是解题关键．