Question

观察：13+23=9=

1

4

×22×32，13+23+33=36=

1

4

×32×42，13+23+33+43=100=

1

4

×42×52，…
（1）若n为正整数，猜想1³+2³+3³+…+n³=

1

4

n²（n+1）²

（2）利用上题中的结论来比较1³+2³+3³+…+100³

＞

（-5000）²（用“＞”“＜”或“=”填空）

Answer 1

分析：（1）由已知条件得出规律，利用规律填空即可；
（2）有（1）中的规律即可得知问题的答案．

解答：解：（1）∵1³+2³=9=

1

4

×2²×3²=

1

4

×2²×（2+1）²
1³+2³+3³=36=

1

4

×3²×4²=

1

4

×3²×（3+1）²
1³+2³+3³+4³=100=

1

4

×4²×5²=

1

4

×3²×（3+1）²
…
因此当有n项相加时，1³+2³+3³+…+n³=

1

4

n²（n+1）²，
故答案为：

1

4

n²（n+1）²；

（2）据规律可知1³+2³+3³+…+100³=

1

4

×100²×101²=5000×

101×101

2

＞5000×5000，
因此1³+2³+3³+…+100³＞（-5000）²．
故答案为：

点评：本题考查了有理数的乘方，解题的关键是要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．